गणितीय ज्यामिति में, क्षेत्रमिति सूत्र का सबसे अधिक महत्व है। एक गणितीय सर्वेक्षण के अनुसार हिंदी में प्रत्येक प्रकार की परीक्षा (प्रतियोगिता, बोर्ड, सरकारी या गैर-सरकारी) में मेंसुरेशन फॉर्मूला से संबंधित प्रश्न लगभग 45% से अधिक होते हैं। इसलिए ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए एक विशेष सूत्र का उपयोग करना आवश्यक है।
हाल के कुछ वार्षिक बोर्ड और प्रतियोगिता परीक्षाओं में देखा गया है कि ज्यामितीय आकृतियों जैसे शंकु, बेलन, गोला, आयत, त्रिभुज, चतुर्भुज आदि से संबंधित अधिक प्रश्न पूछे गए हैं, जो दर्शाता है कि क्षेत्रमिति सूत्र को याद रखना कितना महत्वपूर्ण है।
यहाँ आवश्यकता के अनुसार क्षेत्रमिति से संबंधित लगभग सभी घटकों अर्थात आयतन, क्षेत्रफल, परिमाप आदि का विस्तार से अध्ययन किया जाएगा। प्रश्नों को हल करने के साथ-साथ जो गणित में आपकी पकड़ को मजबूत करने में भी मदद करेगा।
क्षेत्रमिति की परिभाषा | Definition of Mensuration in Hindi
ज्यामितीय क्षेत्रमिति गणित की एक शाखा है जो माप से संबंधित कार्यों से संबंधित है। माप में भी, विशेष रूप से यह ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल, आयतन और परिधि या परिधि के सूत्रों के निर्माण और उपयोग से संबंधित है।
यहाँ क्षेत्रमिति के कुछ प्रमुख घटक हैं जो इस प्रकार हैं।
परिमाप/परिधि : क्षेत्रमिति में परिमाप या परिमाप ऐसी दूरी है जो रेखाखंडों से बनी आकृति के रेखाखंडों के अनुदिश चलकर एक बंद आकृति बनाती है। अतः उस आकृति के चारों ओर के वृत्त को परिमाप कहते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी आकृति की सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग उस आकृति का परिमाप या परिमाप कहलाता है।
क्षेत्रफल: किसी समतल या वक्र पृष्ठ की द्विविमीय आकृति के परिमाण को क्षेत्रफल कहते हैं। वह क्षेत्र जिसका क्षेत्रफल निर्धारित किया जाना है, आमतौर पर एक बंद वक्र से घिरा होता है। क्षेत्रफल हमेशा वर्ग इकाइयों में मापा जाता है।
आयतन: त्रिविमीय आकृति द्वारा घेरा गया स्थान आयतन कहलाता है। किसी पदार्थ द्वारा घेरा गया स्थान लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई में व्यक्त किया जाता है। आयतन हमेशा घन इकाइयों में मापा जाता है।
टिप्पणी:-
केवल त्रिविमीय आकृतियों में आयतन होता है। उदाहरण के लिए, बेलन, शंकु, घन, घनाभ, गोला, छिन्नक आदि।
क्षेत्रमिति के सभी फॉर्मूला| Mensuration All Formula in Hindi
आयत, वर्ग, समकोण त्रिभुज, समद्विबाहु त्रिभुज आदि जैसी द्विविमीय आकृतियों का क्षेत्रफल और परिमाप और घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला, शंकु आदि त्रिविमीय आकृतियों का आयतन, क्षेत्रफल और परिमाप यहाँ विस्तार से शामिल हैं। कौन सा गणित आपको उज्जवल भविष्य की ओर ले जाएगा।
वर्ग का फॉर्मूला
- वर्ग का परिमाप = 4 × a
- वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा × भुजा) = a²
- और भुजा = क्षेत्रफल
- वर्ग का क्षेत्रफल = × (विकर्णों का गुणनफल) = × d2
- वर्ग का विकर्ण = एक भुजा × 2 = a × 2
- वर्ग का विकर्ण = 2 × वर्ग का क्षेत्रफल
आयत का फॉर्मूला
- आयत का परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई)
- आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
- आयत का विकर्ण =√(लंबाई² + चौड़ाई²)
समलम्ब चतुर्भुज का फॉर्मूला
- समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल
- = (समानांतर भुजाओं का योग x ऊँचाई)
- = (समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल)
- = (आधार x संगत ऊँचाई)
- परिधि, P = A + B + C + D
समचतुर्भुज का फॉर्मूला
- ∠A + ∠B +∠ C +∠ D= 360°
- समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = × दोनों विकर्णों का गुणनफल
- यानी A = (d1 × d2)/2 वर्ग इकाई
- समचतुर्भुज का परिमाप = 4 × एक भुजा
- समचतुर्भुज में => (AC)² + (BD)² = 4a²
चक्रीय चतुर्भुज का फॉर्मूला
- ∠A+∠C = 180°
- ∠B + ∠D = 180°
- क्षेत्र = [S (S-A) (S-B) (S - C) (S - C)]
- परिधि, S = (A + B +C + D)
बहुभुज का फॉर्मूला
- n भुजा वाले चतुर्भुज के अंतः कोणों का योग = 2(n –2) × 90°
- एक नियमित बहुभुज का प्रत्येक आंतरिक कोण = (n - 2) / 2 × 180°
- n भुजाओं वाले बहुभुज के बहिष्कोणों का योग = 360°
- बहुभुज के कुछ आंतरिक कोणों का योग = (n - 2) × 180°
- n भुजा वाले समचतुर्भुज का प्रत्येक आंतरिक कोण = [2(n - 2) × 90°] / n
- बहुभुज का परिमाप = n × एक भुजा
- नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल = 6 × 3 (भुजा)²
- n भुजा वाले समचतुर्भुज का प्रत्येक बाह्य कोण = 360°/n
- नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल = 3√3×½ (भुजा)²
- षट्भुज की भुजा = परिवृत्त की त्रिज्या
- सम षट्भुज का परिमाप = 6 × भुजा
- n भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के विकर्णों की संख्या = n(n – 3)/2
वृत्त का फॉर्मूला
- वृत्त का क्षेत्रफल = r²
- वृत्त का व्यास = 2r
- वृत्त की परिधि = 2πr
- वृत्त की परिधि = d
- वृत्त की त्रिज्या = वृत्त का क्षेत्रफल/π
- वृत्ताकार वलय का क्षेत्रफल = (R2 - r2)
- अर्धवृत्त का परिमाप = ( r + 2 r )
- अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 1/2πr²
त्रिज्याखंड और वृत्तखंड का फॉर्मूला
- त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = /360° × r²
- चाप की लंबाई = /360° × 2πr
- त्रिज्याखंड का परिमाप = 2r + rθ/180°
- वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (πθ/360° – 1/2 sinθ)r²
- वृत्तखंड का परिमाप = (L + rθ)/180°, जहाँ L = जीवा की लंबाई
घन का फॉर्मूला
- घन का आयतन = भुजा × भुजा × भुजा = a3
- घन का परिमाप = 4 a²
- सतह का एक किनारा = (सतह का क्षेत्रफल / 4 )
- घन की एक भुजा = 3√ आयतन
- घन की एक भुजा = (पूरे पृष्ठ का क्षेत्रफल/6 )
- घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²
- घन का विकर्ण = 3 × भुजा
घनाभ का फॉर्मूला
- घनाभ का आयतन = l × b × h
- घनाभ का परिमाप = 2(l + b) × h
- घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
- घनाभ का विकर्ण = (l² + b² + h²)
- घनाभ की ऊँचाई = आयतन / (लंबाई × चौड़ाई)
- घनाभ चौड़ाई = आयतन / (लंबाई × ऊँचाई)
- कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2h (l + b)
- बिना ढक्कन वाली टंकी का क्षेत्रफल = 2h (l + b) + lb
- छत या फर्श का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
सिलेंडर का फॉर्मूला
- बेलन का आयतन = r2h
- बेलन की ऊँचाई = आयतन / r2
- लम्ब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या = (आयतन / h)
- खोखले बेलन में धातु का आयतन = h (R2 - r2)
- बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
- बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (h + r)
- लम्ब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई = (बेलन का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल / 2πr) – r
- लम्ब वृत्तीय बेलन के आधार का क्षेत्रफल = r2
शंकु का फॉर्मूला
- शंकु का आयतन = 1/3 r2h
- लम्ब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई = (h2 + r2)
- शंकु की ऊँचाई = (l2 - r2)
- शंकु के आधार की त्रिज्या = (l2 - h2)
- शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = rl
- लम्ब वृत्तीय शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = r (l + r)
- शंकु के आधार का क्षेत्रफल = r2
गोलाकार का फॉर्मूला
- गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2
- गोले का आयतन = 4/3 r3
- गोलाकार कोश का आयतन = 4/3 (R3 - r3)
- गोलाकार कोश का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4/3 (R2 - r2)
- घन में सबसे बड़े गोले का आयतन = 1/6 a3
- घन में सबसे बड़े गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = a2
- गोले के सबसे बड़े घन की एक भुजा = 2R / 3
- अर्धगोले के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 r2
- एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 r2
- अर्धगोले का आयतन = 2/3 r3
समबाहु त्रिभुज का फॉर्मूला
- एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3)/4 × भुजा2
- एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = (√3) / 4 × भुजा
- परिमाप = 3 × भुजा
समद्विबाहु त्रिभुज का फॉर्मूला
- एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल, A = a / 4 b (4b² - a²)
- एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = a / 4 b (4b² - a²)
- परिमाप, P = 2a + b
समचतुर्भुज का फॉर्मूला
- एक बहुफलक का क्षेत्रफल, A =√ [ s(s – a)(s – b)(s – c) ]
- दूसरे शब्दों में, A = × आधार × ऊँचाई
- अर्ध-परिधि P = ( a + b + c )
समकोण त्रिभुज का फॉर्मूला
- एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, A = × आधार × ऊँचाई
- समकोण समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = (2 + 2) × भुजा
- समकोण समद्विबाहु त्रिभुज का कर्ण = (√2) × भुजा
- समकोण समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = × भुजा2
क्षेत्रमिति के बारे में तथ्य
गणितीय ज्यामितीय क्षेत्रमिति में, माप की भौतिक मात्रा को परिमाण संख्याओं में व्यक्त किया जाता है। मापन प्रक्रिया मुख्य रूप से क्षेत्रफल, परिधि, आयतन आदि द्वारा की जाती है। यहाँ हिंदी में क्षेत्रमिति सूत्र का पूरा विवरण दिया गया है जिसका उपयोग ज्यामितीय आकृति के प्रश्नों को हल करने के लिए किया जाता है। आशा है यह पोस्ट आपकी अपेक्षा के अनुरूप सिद्ध होगी।
आपको धन्यवाद !!! Thaank you !!!